Dimensionnement des Pièces
RDM, contraintes sigma, déformations epsilon, coefficient de sécurité
Objectifs pédagogiques
- Identifier les principales sollicitations mécaniques subies par une pièce
- Appliquer les formules fondamentales de la RDM pour calculer contraintes et déformations
- Expliquer la notion de coefficient de sécurité et son rôle dans le dimensionnement
- Dimensionner une pièce simple soumise à une charge donnée
Introduction : Pourquoi dimensionner ?
Exemple : Le bras de suspension automobile
Imaginez le triangle inférieur de suspension d'une automobile. Cette pièce, en acier ou aluminium, relie le châssis à la roue. Elle supporte le poids de la voiture, les chocs des nids-de-poule et les forces en virage.
Si trop faible : la pièce se déforme ou se rompt → accident
Si trop massive : surpoids du véhicule → surconsommation, coût excessif
Le dimensionnement est l'art de trouver le juste équilibre entre sécurité, performance et économie. C'est l'objectif de la Résistance des Matériaux (RDM).
1Notions Fondamentales de RDM - Les Sollicitations
Une structure est soumise à des forces (en Newton, N) qui induisent des sollicitations. On en étudie quatre principales :
1.1 Traction
Exemple : Câble de remorquage, tirante de cadre de vélo
- Effort : Deux forces opposées qui allongent la pièce
- Observation : La section S résiste à l'arrachement
1.2 Compression
Exemple : Poteau, fourche de vélo
- Effort : Deux forces opposées qui raccourcissent la pièce
- Risque : Le flambage pour les pièces longues et fines
1.3 Flexion
Exemple : Essieu, poutre, cadre de vélo
- Effort : Moments de forces qui courbent la pièce
- Observation : Une partie comprimée, l'autre tendue
1.4 Torsion
Exemple : Arbre de transmission, clé
- Effort : Un moment de torsion (couple)
- Observation : La pièce se tord autour de son axe
Question clé : Pour une pièce donnée, demandez-vous toujours : "Quelle est la sollicitation dominante ?"
2Les Grandeurs et Lois Fondamentales
2.1 La Contrainte Normale sigma (σ)
C'est l'intensité de l'effort par unité de surface. En traction/compression pure :
σ = F / S
σ : Contrainte (MPa) | F : Force (N) | S : Section (mm²)
Exemple de calcul :
Une tige cylindrique de diamètre 10 mm (S ≈ 78.5 mm²) subit F = 10 000 N
σ = 10000 / 78.5 ≈ 127.4 MPa
2.2 La Déformation epsilon (ε)
C'est la variation relative de longueur :
ε = ΔL / L₀
ε : Allongement relatif (sans unité) | ΔL : Variation de longueur (mm) | L₀ : Longueur initiale (mm)
2.3 La Loi de Hooke - Comportement Élastique
Dans le domaine élastique (déformation réversible), la contrainte est proportionnelle à la déformation :
σ = E × ε
ou
E = σ / ε
E : Module d'Young (MPa) - caractéristique du matériau
Caracteristiques mecaniques des materiaux courants :
| Materiau | E (MPa) | Re (MPa) | Rm (MPa) | ρ (kg/m³) |
|---|---|---|---|---|
| Acier S235 | 210 000 | 235 | 360-510 | 7850 |
| Acier S355 | 210 000 | 355 | 470-630 | 7850 |
| Acier 42CrMo4 | 210 000 | 750 | 1000 | 7850 |
| Alu 6061-T6 | 69 000 | 276 | 310 | 2700 |
| Alu 7075-T6 | 71 700 | 503 | 572 | 2810 |
| Titane Ti-6Al-4V | 113 800 | 880 | 950 | 4430 |
| POM (Delrin) | 2900 | 65 | 70 | 1410 |
| PA6.6 (Nylon) | 3000 | 80 | 85 | 1140 |
| CFRP (carbone) | 70-150 000 | - | 600-1500 | 1550 |
2.4 Les Limites Caractéristiques du Matériau
- Limite Élastique (Re ou σe) : Contrainte maximale avant déformation permanente. Base du dimensionnement.
- Résistance à la Traction (Rm ou σr) : Contrainte maximale avant rupture.
- Striction : Réduction localisée de la section avant rupture (matériaux ductiles).
3Coefficient de Sécurité et Dimensionnement Pratique
3.1 Le Principe du Coefficient de Sécurité (s)
On ne dimensionne jamais à la limite élastique ! On applique un coefficient de sécurité s > 1 :
s = Re / σ_max_adm
Plus s est grand, plus la pièce est "surdimensionnée" par rapport au strict minimum
Choix de "s" selon l'application :
| Application | Coefficient s |
|---|---|
| Composant de siège | 1.5 à 2 |
| Bras de suspension | 2.5 à 4 |
| Élément de grue | 6 à 10 |
3.2 Démarche de Dimensionnement en Traction
Problème :
Choisir le diamètre d'une tige en acier (Re = 355 MPa) supportant une charge F = 50 000 N, avec un coefficient s = 3.
Étapes de résolution :
- 1. Calculer la contrainte admissible :
σ_adm = Re / s = 355 / 3 ≈ 118.3 MPa
- 2. Trouver la section nécessaire :
S_min = F / σ_adm = 50000 / 118.3 ≈ 422.7 mm²
- 3. En déduire le diamètre :
S = πd²/4 → d = √(4S/π) = √(4×422.7/π) ≈ 23.2 mm
On choisira un diamètre normalisé : d = 24 mm
3.3 Dimensionnement en Flexion Simple
Pour une poutre sur deux appuis, chargee au centre :
σ_max = M_f_max / W
M_f_max : Moment flechissant max (N.mm) | W : Module de flexion (mm³) = I_G / v
Formules des moments de flexion courants :
| Configuration | Mf_max | Fleche max |
|---|---|---|
| Encastree + charge P en bout | P × L | P×L³/(3×E×I) |
| 2 appuis + charge P au centre | P×L/4 | P×L³/(48×E×I) |
| 2 appuis + charge repartie q | q×L²/8 | 5×q×L⁴/(384×E×I) |
| Encastree + charge repartie q | q×L²/2 | q×L⁴/(8×E×I) |
Modules de flexion W par section :
Section rectangulaire b×h
I = b×h³/12
W = b×h²/6
Section circulaire pleine Ø d
I = π×d⁴/64
W = π×d³/32
Tube Ø ext D, Ø int d
I = π×(D⁴-d⁴)/64
W = π×(D⁴-d⁴)/(32×D)
Profile en I (approx.)
I ≈ 2×b×t×(h/2)²
Voir tables profils
3.4 Dimensionnement en Torsion
τ_max = Mt / Wp
Mt : Moment de torsion (N.mm) | Wp : Module de torsion (mm³)
Section circulaire pleine :
Wp = π×d³/16
θ = Mt×L / (G×Ip) avec G ≈ E/2,6 (module de cisaillement)
Exemple : Arbre de transmission
Couple Mt = 200 N.m, acier S355 (τ_adm ≈ 0,6×Re/s = 0,6×355/2 = 106 MPa)
d³ = 16×Mt / (π×τ_adm) = 16×200000 / (π×106) ≈ 9600 mm³
d = ∛9600 ≈ 21,3 mm → choisir Ø22 ou Ø25
Résumé en 5 points clés
- 1Identifier la sollicitation (traction, compression, flexion, torsion) est la première étape.
- 2La contrainte (σ) mesure l'intensité interne des efforts. Formule : σ = F/S
- 3La loi de Hooke (σ = E×ε) décrit le comportement élastique. E est une caractéristique du matériau.
- 4La limite élastique (Re) est la contrainte de référence pour le dimensionnement.
- 5Le coefficient de sécurité (s) garantit la fiabilité : σ_adm = Re / s
Mini-Quiz
Question 1 : Une tige (Re=300 MPa, S=100 mm²) supporte 15 000 N. Avec s=2, est-elle correctement dimensionnée ?
a) Oui, car σ = 150 MPa = σ_adm
b) Non, elle est à la limite de déformation
c) Oui, elle est très largement surdimensionnée
Réponse : b) σ = 150 MPa = σ_adm exactement. On est à la limite, sans marge. En pratique, on éviterait cette situation.
Question 2 : Quel module caractérise la rigidité d'un matériau ?
a) Le module de résistance à la traction (Rm)
b) Le module d'Young (E)
c) Le coefficient de sécurité (s)
Réponse : b) Le module d'Young (E)
Question 3 : En flexion, ou se situe la contrainte maximale ?
a) Sur la fibre neutre
b) Sur les fibres les plus eloignees de la fibre neutre
c) De maniere uniforme sur toute la section
Reponse : b) Sur les fibres les plus eloignees (en haut et en bas d'une poutre en flexion)
Question 4 : Quel est le moment flechissant max d'une poutre sur 2 appuis avec charge P au centre ?
a) P × L
b) P × L / 4
c) P × L² / 8
Reponse : b) Mf_max = P×L/4 au centre de la poutre
Question 5 : L'acier S355 a Re=355 MPa. Avec s=2, quelle est la contrainte admissible ?
a) 710 MPa
b) 355 MPa
c) 177,5 MPa
Reponse : c) σ_adm = Re/s = 355/2 = 177,5 MPa
