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Modelisation Avancee

Modeles multiphysiques, couplages et simulation

Objectifs du Cours

  • Comprendre et formaliser les interactions entre plusieurs domaines physiques (mecanique, thermique, electrique)
  • Maitriser le principe des analogies entre domaines physiques pour simplifier la modelisation
  • Savoir identifier, decrire et modeliser les principaux couplages multiphysiques
  • Mettre en equation un systeme du 1er ou 2nd ordre et interpreter son comportement dynamique
  • Tracer et analyser les reponses temporelles (constante de temps, depassement)
  • Utiliser des outils numeriques de simulation pour valider un modele

Introduction

Dans l'industrie moderne, la conception et l'optimisation des systemes techniques ne peuvent plus se faire de maniere isolee. Un vehicule electrique, une eolienne, une pompe a chaleur ou un panneau photovoltaique sont des assemblages complexes ou les phenomenes electriques, mecaniques, thermiques et chimiques interagissent en permanence.

Demarche de modelisation

+------------------+      +------------------+      +------------------+
|   SYSTEME REEL   |      |     MODELE       |      |   SIMULATION     |
|                  |      |                  |      |                  |
| Comportement     |----->| Equations        |----->| Resolution       |
| observe          |      | mathematiques    |      | numerique        |
|                  |      |                  |      |                  |
+------------------+      +------------------+      +------------------+
        ^                         |                         |
        |                         v                         v
        |                 +------------------+      +------------------+
        |                 |   VALIDATION     |      |   PREDICTION     |
        |                 |                  |      |                  |
        +-----------------| Comparaison      |      | Optimisation     |
                          | mesures/simu     |      | Dimensionnement  |
                          +------------------+      +------------------+

Etapes cles :
  1. Identifier les domaines physiques en jeu
  2. Ecrire les equations de chaque domaine
  3. Identifier les couplages entre domaines
  4. Resoudre (analytiquement ou numeriquement)
  5. Valider par comparaison avec le reel

Cette demarche est cruciale pour :

  • Concevoir : Anticiper les performances et les limites d'un produit avant sa fabrication
  • Optimiser : Ajuster les parametres pour maximiser l'efficacite energetique
  • Diagnostiquer : Comprendre les defaillances et ameliorer la maintenance
  • Valider : S'assurer du respect des normes et des cahiers des charges

1. Modeles Multiphysiques

1.1 Domaine mecanique

Equations fondamentales - Domaine mecanique

CINEMATIQUE (description du mouvement) :
  Position :      x(t)  [m]
  Vitesse :       v(t) = dx/dt  [m/s]
  Acceleration :  a(t) = dv/dt = d2x/dt2  [m/s2]

DYNAMIQUE (causes du mouvement) :
  Principe Fondamental de la Dynamique (PFD) :
    SUM(F_ext) = m . a
    SUM(M_ext) = J . d(omega)/dt  (rotation)

  m : masse [kg]
  J : moment d'inertie [kg.m2]
  omega : vitesse angulaire [rad/s]

ELEMENTS MECANIQUES :
  +----------+------------------+-------------------------+
  | Element  | Equation         | Parametre               |
  +----------+------------------+-------------------------+
  | Ressort  | F = k . x        | k : raideur [N/m]       |
  | Amortiss.| F = f . v        | f : coeff. [N.s/m]      |
  | Masse    | F = m . a        | m : masse [kg]          |
  +----------+------------------+-------------------------+

ENERGIE MECANIQUE :
  E_cinetique = (1/2) . m . v^2  [J]
  E_potentielle_ressort = (1/2) . k . x^2  [J]
  Puissance = F . v = C . omega  [W]

1.2 Domaine thermique

Equations fondamentales - Domaine thermique

CONDUCTION (transfert dans un solide) :
  Loi de Fourier :
    phi = -lambda . S . (dT/dx)  [W]
    phi = (T1 - T2) / Rth

  Resistance thermique (paroi plane) :
    Rth = e / (lambda . S)  [K/W]
    e : epaisseur [m]
    lambda : conductivite [W/(m.K)]
    S : surface [m2]

CONVECTION (transfert solide/fluide) :
  Loi de Newton :
    phi = h . S . (T_solide - T_fluide)  [W]
    h : coefficient de convection [W/(m2.K)]
    h_naturelle = 5-25 W/(m2.K)
    h_forcee = 25-250 W/(m2.K)

RAYONNEMENT :
  Loi de Stefan-Boltzmann :
    phi = epsilon . sigma . S . T^4  [W]
    sigma = 5.67 x 10^-8 W/(m2.K4)
    epsilon : emissivite (0 a 1)

CAPACITE THERMIQUE :
  Q = m . c . Delta_T  [J]
  Cth = m . c  [J/K]
  c : chaleur massique [J/(kg.K)]
    c_eau = 4180 J/(kg.K)
    c_aluminium = 897 J/(kg.K)
    c_air = 1005 J/(kg.K)

1.3 Domaine electrique

Equations fondamentales - Domaine electrique

LOIS DE KIRCHHOFF :
  Loi des noeuds : SUM(i_entrant) = SUM(i_sortant)
  Loi des mailles : SUM(tensions) = 0

ELEMENTS PASSIFS :
  +-------------+------------------+------------------+
  | Element     | Equation         | Impedance (AC)   |
  +-------------+------------------+------------------+
  | Resistance  | u = R . i        | Z_R = R          |
  | Condensateur| i = C . du/dt    | Z_C = 1/(j.C.w)  |
  | Bobine      | u = L . di/dt    | Z_L = j.L.w      |
  +-------------+------------------+------------------+

ENERGIE ET PUISSANCE :
  Puissance instantanee : p(t) = u(t) . i(t)  [W]
  Energie condensateur : E = (1/2) . C . U^2  [J]
  Energie bobine : E = (1/2) . L . I^2  [J]
  Puissance dissipee (resistance) : P = R . I^2 = U^2/R  [W]

REGIME SINUSOIDAL :
  u(t) = U_max . cos(omega.t + phi)
  Valeur efficace : U_eff = U_max / sqrt(2)
  Puissance active : P = U_eff . I_eff . cos(phi)  [W]
  Puissance reactive : Q = U_eff . I_eff . sin(phi)  [VAR]

1.4 Analogies entre domaines

L'analogie permet de transposer un probleme d'un domaine physique a un autre, facilitant la resolution.

Tableau des analogies entre domaines

+------------------+------------------+------------------+------------------+
|   ELECTRIQUE     |    THERMIQUE     |   MECANIQUE      |   HYDRAULIQUE    |
|                  |                  |   (translation)  |                  |
+------------------+------------------+------------------+------------------+
| Tension U [V]    | Temp. T [K]      | Force F [N]      | Pression P [Pa]  |
| Courant I [A]    | Flux phi [W]     | Vitesse v [m/s]  | Debit Q [m3/s]   |
| Resistance R [O] | Rth [K/W]        | Frottement f     | Rh [Pa.s/m3]     |
| Capacite C [F]   | Cth [J/K]        | Masse m [kg]     | Capacitance      |
| Inductance L [H] | (pas d'equiv.)   | Ressort 1/k      | Inertie fluide   |
+------------------+------------------+------------------+------------------+

Equations analogues :
  Electrique :  U = R . I           Thermique : Delta_T = Rth . phi
  Electrique :  I = C . dU/dt       Thermique : phi = Cth . dT/dt

Circuit RC  <-->  Paroi avec capacite thermique
  tau_elec = R . C  [s]             tau_th = Rth . Cth  [s]
Domaine ElectriqueDomaine ThermiqueRelation
Tension U [V]Temperature T [K]Potentiel moteur
Courant I [A]Flux thermique phi [W]Flux
Resistance R [Ohm]Resistance thermique Rth [K/W]R = U/I ; Rth = Delta_T/phi
Capacite C [F]Capacite thermique Cth [J/K]I = C.dU/dt ; phi = Cth.dT/dt

2. Couplages entre Domaines

Le couplage est l'interaction entre deux domaines physiques : un phenomene dans un domaine produit un effet dans l'autre, et souvent reciproquement.

Types de couplages multiphysiques

                    +------------------+
                    |    ELECTRIQUE    |
                    +--------+---------+
                             |
        Couplage        Couplage        Couplage
        electro-        thermo-         piezo-
        mecanique       electrique      electrique
        (moteur)        (Joule,Peltier) (capteur)
             |               |               |
             v               v               v
     +-------+------+   +----+----+   +------+-----+
     |  MECANIQUE   |   |THERMIQUE|   | ACOUSTIQUE |
     +-------+------+   +----+----+   +------------+
             |               |
        Couplage        Couplage
        thermo-         thermo-
        mecanique       chimique
        (dilatation)    (combustion)
             |               |
             v               v
     +-------+------+   +----+----+
     |   THERMIQUE  |   | CHIMIQUE |
     +--------------+   +----------+

Couplage electro-mecanique

Moteur a courant continu - Equations couplees

PARTIE ELECTRIQUE :
  u(t) = R.i(t) + L.di/dt + e(t)
  ou e(t) est la f.e.m. induite

PARTIE MECANIQUE :
  J.d(omega)/dt + f.omega = Cm - Cr
  J : moment d&apos;inertie du rotor [kg.m2]
  f : coefficient de frottement visqueux [N.m.s/rad]
  Cr : couple resistant [N.m]

EQUATIONS DE COUPLAGE :
  e(t) = Ke . omega(t)       (f.e.m. proportionnelle a la vitesse)
  Cm(t) = Kc . i(t)          (couple proportionnel au courant)

  Ke = Kc = K (constante moteur) en unites SI

Transfert Electrique --> Mecanique :
  Puissance electrique : P_e = u.i
  Puissance mecanique : P_m = Cm.omega = K.i.omega
  Rendement : eta = P_m / P_e = (K.i.omega) / (u.i)

Couplage thermo-electrique

Couplages thermo-electriques

EFFET JOULE (irreversible) :
  P_dissipee = R . I^2 = U^2 / R  [W]

  Application : Resistance chauffante
    P = 2000 W, U = 230 V
    R = U^2/P = 230^2/2000 = 26.5 Ohm
    I = P/U = 2000/230 = 8.7 A

EFFET PELTIER (reversible) :
  Absorption/liberation de chaleur a une jonction
  de deux conducteurs differents.

  Flux thermique : phi = Pi . I
  Pi : coefficient Peltier [V]

  Application : Module Peltier (TEC)
    - Refroidissement de composants electroniques
    - Mini-refrigerateurs portables
    - COP faible (0.3 a 0.6) mais compact

EFFET SEEBECK (inverse du Peltier) :
  f.e.m. generee par difference de temperature
  U = S . Delta_T
  S : coefficient Seebeck [V/K]

  Application : Thermocouple (capteur de temperature)
    Type K : S = 41 uV/K

Couplage thermo-mecanique

Couplages thermo-mecaniques

DILATATION THERMIQUE :
  Delta_L = alpha . L0 . Delta_T
  alpha : coefficient de dilatation [K^-1]

  Coefficients typiques :
    Acier : alpha = 12 x 10^-6 K^-1
    Aluminium : alpha = 23 x 10^-6 K^-1
    Beton : alpha = 10 x 10^-6 K^-1

  Exemple : Rail de 36 m, Delta_T = 40 C
    Delta_L = 12e-6 x 36 x 40 = 17.3 mm
    --> Necessite joints de dilatation !

BILAME (actionneur thermique) :
  Deux metaux de coeff. differents soudes ensemble
  --> Courbure lors de variation de temperature
  Application : Thermostat, disjoncteur thermique

MOTEUR THERMIQUE :
  Cycle : Compression --> Combustion --> Detente --> Echappement
  Travail mecanique = Aire du cycle (diag. P-V)

  Rendement de Carnot (max theorique) :
    eta_Carnot = 1 - T_froid / T_chaud

  Exemple : T_chaud = 600 K, T_froid = 300 K
    eta_max = 1 - 300/600 = 50%

Exemples de systemes couples

Exemple complet : Pompe a chaleur (PAC)

                       EVAPORATEUR              COMPRESSEUR              CONDENSEUR
Air exterieur         (absorption)             (travail elec.)          (liberation)
    T_ext        +--------------------+     +------------------+     +------------------+
----|----------->| Echangeur          |---->| Compresseur      |---->| Echangeur        |--->
    |            | thermique          |     | electrique       |     | thermique        |
    |            +--------------------+     +------------------+     +------------------+
    |                    |                          |                        |
    v                    v                          v                        v
  THERMIQUE           THERMIQUE               ELECTRIQUE              THERMIQUE
  (convection)        (evaporation)           (moteur)                (condensation)
                      Q_froid                 W_compresseur            Q_chaud
                                                                           |
                                                                           v
                                                                      Interieur
                                                                       T_int

Bilan energetique (1er principe) :
  Q_chaud = Q_froid + W_compresseur

COP (Coefficient de Performance) :
  COP = Q_chaud / W_elec = (Q_froid + W) / W

  Exemple numerique :
    Q_chaud = 4000 W (fourni a l&apos;interieur)
    W_elec = 1000 W (consomme)
    COP = 4000/1000 = 4

  Interpretation : Pour 1 kWh electrique,
                   4 kWh de chaleur fournis
                   dont 3 kWh preleves gratuitement dans l&apos;air

3. Equations Differentielles et Comportement Dynamique

3.1 Systeme du 1er ordre

Systeme du 1er ordre - Forme canonique

Equation differentielle :
  tau . dy(t)/dt + y(t) = K . x(t)

  tau : constante de temps [s]
  K : gain statique (sans dimension ou avec unite)
  x(t) : entree (excitation)
  y(t) : sortie (reponse)

Fonction de transfert (Laplace) :
  H(p) = Y(p)/X(p) = K / (1 + tau.p)

REPONSE INDICIELLE (entree echelon x(t) = E) :
  y(t) = K.E . (1 - exp(-t/tau))

Comportement temporel :
y(t)
  ^
  |                        _____________________ y_final = K.E
  |                   .....*
  |              ....*
  |          ...*
  |       ..*                    63% de y_final
  |     .*...................... a t = tau
  |   .*
  |  .*
  | .*
  |.*
  +---------------------------------------------------------> t
  0    tau      2.tau    3.tau    4.tau    5.tau

Valeurs remarquables :
  t = tau    : y = 63% de y_final
  t = 2.tau  : y = 86% de y_final
  t = 3.tau  : y = 95% de y_final
  t = 5.tau  : y = 99% de y_final (regime permanent)

3.2 Systeme du 2nd ordre

Systeme du 2nd ordre - Forme canonique

Equation differentielle :
  (1/omega_n^2).d2y/dt2 + (2.xi/omega_n).dy/dt + y = K.x

Fonction de transfert :
  H(p) = K.omega_n^2 / (p^2 + 2.xi.omega_n.p + omega_n^2)

Parametres :
  omega_n : pulsation propre [rad/s]
  xi : coefficient d&apos;amortissement (sans unite)
  K : gain statique

COMPORTEMENT SELON xi :

  xi > 1 : APERIODIQUE (sur-amorti)
    Pas d&apos;oscillation, reponse lente
    y
    |                _____________
    |           .....*
    |       ...*
    |     .*
    |   .*
    |  .*
    | .*
    |.*____________________________
    0                            t

  xi = 1 : CRITIQUE
    Limite entre oscillant et aperiodique
    Reponse la plus rapide sans depassement

  0 < xi < 1 : PSEUDO-PERIODIQUE (sous-amorti)
    Oscillations amorties
    y
    |     .*.
    |   .*   *.    .*.
    | .*       *..*   *..____.____ y_final
    |.*
    |*_____________________________
    0                            t

    Depassement : D% = 100.exp(-pi.xi / sqrt(1-xi^2))
    xi = 0.7 --> D% = 5% (valeur courante en automatique)

  xi = 0 : OSCILLANT PUR
    Oscillations permanentes (instable)

3.3 Formules du 2nd ordre

Formules pour systeme du 2nd ordre (0 < xi < 1)

Pulsation propre amortie :
  omega_d = omega_n . sqrt(1 - xi^2)

Periode des oscillations :
  T = 2.pi / omega_d

Temps de montee (10% a 90%) :
  tr = (1.8 a 2.2) / omega_n  (approx)

Temps du 1er pic :
  t_pic = pi / omega_d

Depassement :
  D% = 100 . exp(-pi.xi / sqrt(1 - xi^2))

Temps d&apos;etablissement a 5% :
  te_5% = 3 / (xi . omega_n)

Temps d&apos;etablissement a 2% :
  te_2% = 4 / (xi . omega_n)

Exemple numerique :
  omega_n = 10 rad/s, xi = 0.5
  omega_d = 10 x sqrt(1-0.25) = 8.66 rad/s
  T = 2.pi/8.66 = 0.73 s
  D% = 100 x exp(-pi x 0.5 / sqrt(0.75)) = 16.3%
  te_5% = 3 / (0.5 x 10) = 0.6 s

3.4 Exemples de modelisation

Circuit RC (1er ordre)

Schema :
    E(t)---[R]---+---[C]---GND
                 |
                 +--- u_C(t)

Equations :
  Loi des mailles : E = R.i + u_C
  Condensateur : i = C.du_C/dt

Equation differentielle :
  R.C.du_C/dt + u_C = E
  --> tau = R.C

Exemple : R = 10 kOhm, C = 100 uF
  tau = 10000 x 100e-6 = 1 s
  A t = 5 s (5.tau), condensateur charge a 99%

Systeme masse-ressort-amortisseur (2nd ordre)

Schema :
            k (ressort)
    /////    |         |
    |   +-----+
    |   |     |
    +---| m   |---+
        |     |   |
        +-----+   [f] (amortisseur)
          |       |
          +-------+
              |
              v  F(t) (force appliquee)

Equation du mouvement (PFD) :
  m.d2x/dt2 = F - k.x - f.dx/dt

Forme canonique :
  m.d2x/dt2 + f.dx/dt + k.x = F

Identification :
  omega_n = sqrt(k/m)
  xi = f / (2.sqrt(k.m))
  K = 1/k

Exemple : m = 1 kg, k = 100 N/m, f = 4 N.s/m
  omega_n = sqrt(100/1) = 10 rad/s
  xi = 4 / (2 x sqrt(100 x 1)) = 4/20 = 0.2
  --> Systeme sous-amorti, oscillations

Montee en temperature d'un composant (1er ordre)

Schema equivalent thermique :
    P_joule ---> [Cth] ---> [Rth] ---> T_amb
                  T

Bilan thermique :
  P_Joule = Cth.dT/dt + (T - T_amb)/Rth

Rearrangement :
  Rth.Cth.dT/dt + T = Rth.P_Joule + T_amb

Constante de temps thermique :
  tau_th = Rth.Cth

Exemple : Transistor MOSFET
  Rth = 1.5 K/W (jonction-boitier)
  Cth = 0.5 J/K
  tau_th = 1.5 x 0.5 = 0.75 s

  P_dissipee = 10 W, T_amb = 25 C
  T_finale = 25 + 1.5 x 10 = 40 C
  A t = 3.tau = 2.25 s : T = 39.25 C (95%)

4. Outils de Simulation

4.1 Logiciels de simulation

Matlab/Simulink

Standard industriel. Simulink = modelisation par blocs graphiques. Toolbox multiphysique.

SciLab/XCos

Alternative open-source. Syntaxe proche de Matlab. Gratuit pour l'education.

LTSpice

Simulation electronique. Gratuit. Modeles SPICE de composants.

4.2 Exemple de schema Simulink

Schema-bloc Simulink : Moteur CC + charge

                       Ke
                    +------+
            +------>| Gain |-------+
            |       +------+       |
            |          e(t)        |
            |                      v
+-------+   |   +-----+   +-----+  -   +-------+   +-------+
| Step  |---+-->|  -  |-->| 1/L |----->| 1/s   |-->| Scope |
| (E)   |       |  +  |   +-----+      | integ |   | i(t)  |
+-------+       +-----+       ^        +-------+   +-------+
                   |          |            |
                   |    +-----+            |
                   |    | R   |            |
                   |    +-----+            |
                   |       ^               |
                   +-------+---------------+
                        u_R = R.i

               Partie mecanique
                    Kc
            +------+          +-------+   +-------+
    i(t) -->| Gain |---+----->|  -    |-->| 1/J   |---> omega
            +------+   |      |  +    |   | integ |
               Cm      |      +-------+   +-------+
                       |          ^
                       |    +-----+
                       |    | f   | (frottement)
                       |    +-----+
                       |       ^
                       +-------+

Resume - Points Cles a Retenir

  • 1La modelisation avancee combine des sous-modeles (mecanique, thermique, electrique) pour representer les systemes multiphysiques
  • 2Les analogies (ex: electrique/thermique) simplifient la resolution : R <--> Rth, C <--> Cth
  • 3Couplages : electro-mecanique (moteur), thermo-electrique (Joule, Peltier), thermo-mecanique (dilatation)
  • 41er ordre : tau.dy/dt + y = K.x, reponse : y = K.E.(1 - exp(-t/tau)), a t=5.tau regime permanent
  • 52nd ordre : parametres omega_n et xi. xi < 1 : oscillations. D% = 100.exp(-pi.xi/sqrt(1-xi^2))
  • 6Logiciels : Matlab/Simulink, SciLab/XCos, LTSpice pour valider les modeles par simulation

Mini-Quiz

1. Dans l'analogie electrique/thermique, a quoi correspond la resistance thermique Rth ?

  • a) A la tension electrique
  • b) A la resistance electrique R
  • c) Au courant electrique

Reponse : b) La resistance thermique Rth correspond a la resistance electrique R

2. Pour un systeme du 1er ordre, a t = tau, quelle fraction de la valeur finale est atteinte ?

  • a) 50%
  • b) 63%
  • c) 99%

Reponse : b) 63% (1 - e^-1 = 0.632)

3. Dans un moteur electrique, la force contre-electromotrice e(t) est proportionnelle a :

  • a) La tension d'alimentation
  • b) La vitesse angulaire Omega
  • c) Le couple resistant

Reponse : b) La vitesse angulaire Omega (e = Ke.Omega)

4. Un systeme du 2nd ordre avec xi = 0.3 presente :

  • a) Un regime aperiodique
  • b) Des oscillations amorties
  • c) Des oscillations permanentes

Reponse : b) Des oscillations amorties (xi < 1 : regime pseudo-periodique)

5. Calculer la constante de temps d'un circuit RC avec R = 47 kOhm et C = 22 uF.

  • a) tau = 0.1 s
  • b) tau = 1.03 s
  • c) tau = 10.3 s

Reponse : b) tau = R.C = 47000 x 22e-6 = 1.034 s

6. Une PAC avec COP = 4 consomme 1.5 kW. Quelle puissance thermique fournit-elle ?

  • a) 4.5 kW
  • b) 6 kW
  • c) 1.5 kW

Reponse : b) Q_chaud = COP x W = 4 x 1.5 = 6 kW

Pret a pratiquer ?

Testez vos connaissances avec nos exercices interactifs !

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